3. Diberikan segitiga ABC dengan C-45°. Titik D pada ruas garis BC sehingga AD = BD. Jika sin DAC + cos ZDAC = 3/5 √2, nilai sin2 BAD adalah ... (A) 32 25 (B) 18 25 (C) 9 2030200 25 (D) 9 10
Answer (1)
Jawaban:pecahkan masalah ini langkah demi langkah. Ringkasan Soal: Diberikan segitiga ABC dengan sudut C = 45°. Titik D terletak pada ruas garis BC sehingga AD = BD. Jika sin ∠DAC + cos ∠DAC = (3/5)√2, kita diminta untuk mencari nilai dari sin(2∠BAD). Langkah-langkah Penyelesaian: 1. Misalkan ∠DAC = x.- Maka, sin x + cos x = (3/5)√2.2. Kuadratkan kedua sisi persamaan:- (sin x + cos x)² = ((3/5)√2)²- sin²x + 2 sin x cos x + cos²x = (9/25) * 2- 1 + 2 sin x cos x = 18/25- 2 sin x cos x = 18/25 - 1- 2 sin x cos x = -7/25- sin 2x = -7/253. Perhatikan segitiga ADB:- Karena AD = BD, maka segitiga ADB adalah segitiga sama kaki.- Misalkan ∠BAD = ∠ABD = y.- Maka, ∠ADB = 180° - 2y.4. Perhatikan bahwa ∠ADB adalah sudut luar segitiga ADC:- ∠ADB = ∠DAC + ∠C- 180° - 2y = x + 45°- 2y = 180° - x - 45°- 2y = 135° - x5. Kita ingin mencari sin(2y) = sin(2∠BAD):- sin(2y) = sin(135° - x)- sin(2y) = sin 135° cos x - cos 135° sin x- sin(2y) = (√2/2) cos x - (-√2/2) sin x- sin(2y) = (√2/2) (cos x + sin x)6. Substitusi nilai sin x + cos x:- sin(2y) = (√2/2) * (3/5)√2- sin(2y) = (3/5) * (2/2)- sin(2y) = 3/57. Karena ada kesalahan dalam perhitungan sebelumnya (sin 2x = -7/25 tidak mungkin karena 2x adalah sudut dalam segitiga), kita akan menggunakan identitas trigonometri yang berbeda:- Kita tahu sin x + cos x = (3/5)√2- Kita juga tahu sin²x + cos²x = 1- Misalkan sin x = a dan cos x = b. Maka:- a + b = (3/5)√2- a² + b² = 1- (a + b)² = a² + 2ab + b²- ((3/5)√2)² = 1 + 2ab- 18/25 = 1 + 2ab- 2ab = -7/25- sin 2x = -7/25 (seperti sebelumnya, ini tidak mungkin)8. Mari kita kembali ke sin(2y) = sin(135° - x) dan gunakan identitas yang berbeda:- sin(2y) = sin(135° - x)- sin(2y) = sin 135° cos x - cos 135° sin x- sin(2y) = (√2/2) cos x + (√2/2) sin x- sin(2y) = (√2/2) (cos x + sin x)- sin(2y) = (√2/2) * (3/5)√2- sin(2y) = 3/5 Jawaban: Nilai sin(2∠BAD) adalah 3/5. Namun, jawaban ini tidak sesuai dengan pilihan yang diberikan. Mari kita periksa kembali perhitungan kita.Setelah memeriksa kembali, kita menemukan bahwa tidak ada kesalahan dalam logika atau perhitungan kita. Jawaban yang benar adalah 3/5, tetapi tidak ada pilihan yang sesuai. Mungkin ada kesalahan dalam pilihan jawaban yang diberikan.
