Sisa pembagian polinomial p(x) oleh (x²-1) adalah 4x -3, sedangkan sisa pembagian p(x) oleh (x + 4) adalah 2. Sisa pembagian p(x) oleh (x² + 5x + 4) adalah.... a. 2x + 5 b. C. 2x-5 3x + 10 d. -3x-10 e. -3x+10
Answer (1)
Jawaban:Kita bisa menyelesaikan soal ini dengan Teorema Sisa. - (x² - 1): Karena sisa pembagian p(x) oleh (x² - 1) adalah 4x - 3, kita tahu bahwa p(x) dapat ditulis dalam bentuk:p(x) = (x² - 1)q(x) + 4x - 3 di mana q(x) adalah hasil bagi.- (x + 4): Sisa pembagian p(x) oleh (x + 4) adalah 2, berarti p(-4) = 2. Substitusikan x = -4 ke persamaan di atas:p(-4) = ((-4)² - 1)q(-4) + 4(-4) - 3 = 215q(-4) - 19 = 215q(-4) = 21q(-4) = 7/5- (x² + 5x + 4): Perhatikan bahwa (x² + 5x + 4) = (x + 1)(x + 4). Karena kita mencari sisa pembagian oleh (x² + 5x + 4), sisanya akan berupa polinomial derajat satu atau lebih rendah. Kita bisa menulis sisanya sebagai ax + b. Maka:p(x) = (x² + 5x + 4)r(x) + ax + bdi mana r(x) adalah hasil bagi. Kita perlu mencari nilai a dan b. Karena (x + 4) adalah faktor dari (x² + 5x + 4), sisa pembagian p(x) oleh (x + 4) akan sama dengan sisa pembagian p(x) oleh (x² + 5x + 4) ketika x = -4. Oleh karena itu: p(-4) = a(-4) + b = 2 Sekarang kita perlu menggunakan informasi bahwa sisa pembagian p(x) oleh (x² - 1) adalah 4x - 3. Kita dapat mengganti x = 1 dan x = -1 ke dalam persamaan p(x) = (x² - 1)q(x) + 4x - 3: - x = 1: p(1) = 4(1) - 3 = 1- x = -1: p(-1) = 4(-1) - 3 = -7 Substitusi x = 1 dan x = -1 ke dalam p(x) = (x² + 5x + 4)r(x) + ax + b: - x = 1: p(1) = (1 + 5 + 4)r(1) + a + b = 1 => 10r(1) + a + b = 1- x = -1: p(-1) = (1 - 5 + 4)r(-1) + a(-1) + b = -7 => 0r(-1) - a + b = -7 Kita punya sistem persamaan: 1. -4a + b = 22. a + b = 13. -a + b = -7 Dari persamaan 2 dan 3 kita dapat menemukan a dan b. Kurangi persamaan 2 dari 3: (-a + b) - (a + b) = -7 - 1-2a = -8a = 4 Substitusi a = 4 ke persamaan 2: 4 + b = 1b = -3 Jadi sisanya adalah 4x - 3. Namun, ini tidak ada di pilihan jawaban. Ada kesalahan dalam penalaran di atas. Mari kita coba pendekatan yang berbeda. Karena (x² + 5x + 4) = (x+1)(x+4), dan kita sudah tahu sisa pembagian dengan (x+4) adalah 2. Kita perlu menemukan sisa pembagian dengan (x+1). Kita tahu p(x) = (x² - 1)q(x) + 4x - 3. Substitusi x = -1: p(-1) = ((-1)² - 1)q(-1) + 4(-1) - 3 = -7 Jika sisa pembagian dengan (x+1) adalah c, maka p(-1) = c = -7. Oleh karena itu sisa pembagian dengan (x² + 5x + 4) harus berupa persamaan linear ax + b. Kita tahu: p(-4) = 2p(-1) = -7 -4a + b = 2-a + b = -7 Mengurangi persamaan: -3a = 9 => a = -3b = -7 + a = -7 -3 = -10 Jadi sisanya adalah -3x - 10 (opsi d)
