Tentukan semua bilangan bulat b sehingga polinomial [tex]P(x)=3x^2-bx-(b+2)[/tex]dapat dituliskan sebagai perkalian dari dua polinomial dengan koefisien bulat!
Answer (5)
The correct answer would be B.
He changed it to the New York Colony. :)
The colony of New Amsterdam was renamed New York by the Duke of York after the English took control in 1664. This renaming recognized the Duke's role in the takeover and reflected the broader English ambition in North America. The change marked an important shift in the colonial landscape of what would become the United States.
;
Jawab:b = -10 dan b = -2.Penjelasan dengan langkah-langkah:Kita punya polinomial derajat 2 dengan bentuk:[tex]\displaystyle P(x) = 3x^2 -bx -(b+2)[/tex]Agar polinomial tersebut dapat dituliskan sebagai perkalian dari dua polinomial dengan koefisien bilangan bulat (ℤ), maka dia harus bisa difaktorisasi menjadi bentuk (ingat faktorisasi persamaan kuadrat):[tex]P(x) = \begin{cases}(3x+p)(x+q)\\(x+p)(3x+q)\end{cases}[/tex]dengan p dan q termasuk bilangan bulat (p, q ∈ ℤ).I.Tinjau bentuk faktorisasi pertama:[tex]\begin{aligned} P(x) &= (3x+p)(x+q)\\ &= 3x^2 + (3q+p)x + pq\end{aligned}[/tex]Kita cocokkan dengan bentuk P(x) = 3x² - bx - (b + 2), diperoleh:[tex]\begin{aligned} -b &= 3q+p \qquad &\text{(i)}\\ -(b+2) &= pq &\text{(ii)}\end{aligned}[/tex]Memasukkan nilai (i) ke (ii), diperoleh:[tex]\begin{aligned} 3q + p -2 &= pq\\ 0 &= pq -p -3q + 2\\ &= q(p-3) -p +3 -1\\ 1 &= q(p-3) -(p-3)\\ 1 &= (p-3)(q-1)\end{aligned}[/tex]Ingat bahwa p dan q harus termasuk bilangan bulat, dan faktorisasi bilangan bulat yang mungkin untuk 1 hanyalah (1, 1) dan (-1, -1). Maka, hanya ada dua kemungkinan solusi untuk persamaan tersebut.Kemungkinan pertama:[tex]\begin{aligned}p-3 = 1 \text{ dan } q-1=1 \implies p=4;q=2 \implies b &= -(3q+p) \\&= -(3\cdot 2 + 4)\\&= \boxed{-10}\\\end{aligned}[/tex]Kemungkinan kedua:[tex]\begin{aligned}p-3 = -1 \text{ dan } q-1=-1 \implies p=2;q=0 \implies b &= -(3q+p) \\&= -(3\cdot 0 + 2)\\&= \boxed{-2}\\\end{aligned}[/tex]Diperoleh b = {-10; -2}.II.Tinjau bentuk faktorisasi kedua:[tex]\begin{aligned} P(x) &= (x+p)(3x+q)\\ &= 3x^2 + (3p+q)x + pq\end{aligned}[/tex]Kita cocokkan dengan bentuk P(x) = 3x² - bx - (b + 2), diperoleh:[tex]\begin{aligned} -b &= 3p+q \qquad &\text{(iii)}\\ -(b+2) &= pq &\text{(iv)}\end{aligned}[/tex]Memasukkan nilai (iii) ke (iv), diperoleh:[tex]\begin{aligned} 3p + q - 2 &= pq\\ 0 &= pq -3p -q + 2\\ &= q(p-1) -3p + 3 -1\\ 1 &= q(p-1) -3(p-1)\\ 1 &= (p-1)(q-3)\end{aligned}[/tex]Mengikuti bentuk faktorisasi pertama, kita tahu bahwa hanya ada dua kemungkinan solusi untuk persamaan tersebut:Kemungkinan pertama:[tex]\begin{aligned}p-1 = 1 \text{ dan } q-3=1 \implies p=2;q=4 \implies b &= -(3p+q) \\&= -(3\cdot 2 + 4)\\&= \boxed{-10}\\\end{aligned}[/tex]Kemungkinan kedua:[tex]\begin{aligned}p-1 = -1 \text{ dan } q-3=-1 \implies p=0;q=2 \implies b &= -(3p+q) \\&= -(3\cdot 0 + 2)\\&= \boxed{-2}\\\end{aligned}[/tex]Diperoleh b = {-10; -2}, sama dengan hasil dari meninjau bentuk faktorisasi pertama.Maka, nilai-nilai b ∈ ℤ yang mungkin sehingga P(x) = 3x² - bx - (b + 2) dapat difaktorisasi dengan akar-akar bilangan bulat adalah b = {-10; -2}.Maaf kalau salah, semoga cukup membantu.
Jawab:bPenjelasan dengan langkah-langkah:Langkah-langkah Penyelesaian SoalUntuk mencari bilangan bulat bb sehingga polinomial P(x)=3x2−bx−(b+2)P(x) = 3x^2 - bx - (b + 2) dapat dituliskan sebagai hasil perkalian dua polinomial dengan koefisien bulat, ikuti langkah-langkah berikut:1. Mencoba Bentuk Perkalian Polinomial:Misalkan kita ingin menuliskan polinomial P(x)P(x) sebagai hasil perkalian dua polinomial. Kita anggap polinomial tersebut dalam bentuk:P(x)=(ax+c)(dx+e)P(x) = (ax + c)(dx + e) 2. Ekspansi Hasil Perkalian:Sekarang kita ekspansi hasil perkalian tersebut:(ax+c)(dx+e)=adx2+(ae+cd)x+ce(ax + c)(dx + e) = adx^2 + (ae + cd)x + ce Ini memberi kita tiga koefisien yang perlu dibandingkan dengan koefisien yang ada pada polinomial P(x)=3x2−bx−(b+2)P(x) = 3x^2 - bx - (b + 2).3. Membandingkan Koefisien:Koefisien x2x^2: Dari hasil perkalian, koefisien x2x^2 adalah adad. Dari P(x)P(x), koefisien x2x^2 adalah 3, sehingga:ad=3ad = 3 Koefisien xx: Koefisien xx dari hasil perkalian adalah ae+cdae + cd. Bandingkan dengan koefisien xx dari P(x)P(x), yaitu −b-b, sehingga:ae+cd=−bae + cd = -b Koefisien Konstanta: Koefisien konstanta dari hasil perkalian adalah cece. Bandingkan dengan konstanta pada P(x)P(x), yaitu −(b+2)-(b + 2), sehingga:ce=−(b+2)ce = -(b + 2) 4. Menentukan Nilai bb:Dari persamaan ad=3ad = 3, kita dapatkan pasangan bilangan bulat aa dan dd yang memenuhi persamaan ini. Pasangan yang mungkin adalah:(a,d)=(1,3),(3,1),(−1,−3),(−3,−1)(a, d) = (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1) Setelah menemukan pasangan aa dan dd, kita substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam persamaan ae+cd=−bae + cd = -b dan ce=−(b+2)ce = -(b + 2), untuk menentukan nilai bb.Dengan langkah-langkah ini, kita dapat menghitung nilai-nilai bb yang memenuhi kondisi soal.
